[재미있는 수학] '집합과 명제'는 논리적 사고력 키울 수 있어

입력2024.03.03 17:44 수정2024.03.03 17:44 지면S12

(8) 수학과 논리

수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 그 중에서도 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.

어떤 사람이 논리적이라는 표현은 칭찬으로 이해되는 경우가 많지만 그렇지 않은 경우도 있습니다. 예를 들면, 성격 유형 검사인 MBTI와 관련해 다양한 오해와 선입견으로 ‘T’가 밈(meme)화 되고 있는 현상이 그렇습니다. 그럼에도 논리적 생각은 고차원의 사고 활동에서 필수적이고 중요한 수단이자 과정입니다.

고교 교육과정에서는 논리학을 가르치지 않지만 학생들은 여러 과목을 통해 자연스럽게 논리적으로 무엇이 옳고 그른 것인지 알 수 있게 됩니다. 특히 수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 특히 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 그래서 이 단원을 논리학의 기초적인 내용과 연계해 이해하면 유익합니다.

논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.

예를 들어, [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.] 라는 논증을 봅시다. 이는 전형적인 연역적 추론으로서 형식적으로는 A이면 B이다, A이다, 그러므로 B이다. 라고 볼 수 있습니다. A와 B자리에 어떤 문장이 들어오더라도 근거로 쓰는 문장들이 참이라면 주장은 항상 참이 될 수 밖에 없습니다.

다른 예를 들어봅시다. [근거 1: 어제 해가 떴다. 근거 2: 그제 해가 떴다. 근거 3: 1년 전에도 해가 떴다. 근거 4: 100년 전에도 해가 떴다. 주장: 그러므로 내일도, 앞으로도 계속 해가 뜰 것이다.] 이런 형태의 논증은 귀납추론이라고 합니다. 귀납추론의 근거들은 경험적으로, 사례 위주로 주장을 뒷받침합니다. 근거가 많을수록 강한 추론이 되며 주장에 대한 신뢰도가 올라가게 됩니다. 그러나 100% 참이 될 수 없기에 반례에 취약하죠.

2개의 추론은 서로를 보완하는 장단점을 가지고 있습니다. 연역추론은 (참인 근거)+(옳은 형식)=(참인 주장) 이 나오기에 신뢰할 수 있으며, 수학적 증명을 하기에 적합하지만 기존에 없던 새로운 사실을 발견하는 도구로서는 부적합합니다. 반면에 귀납추론은 근거가 아무리 많아도 아직까지는 맞지만 새로운 발견에 의해 틀릴 가능성이 존재합니다. 그러나 규칙과 패턴에 의해 새로운 사실 발견의 단서와 방향이 되기에 과학적 연구에 적합합니다.

두 가지 방식 중 명제 단원에서 연관성을 찾을 수 있는 것은 연역추론입니다. 특히 연역적으로 옳은 형식은 크게 구분해 네 가지가 전부이며 단순하기에 이해하기도 쉽습니다.

연역 추론 형식의 첫 번째로는 위에서 다루었던 논증 형식으로 전건 긍정식이라 합니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.]에서 근거 1 명제의 전건을 근거 2가 긍정하며 주장을 뒷받침하고 있음을 볼 수 있습니다.

두 번째로는 후건 부정식이라 하며 다음과 같이 예를 들어 볼 수 있겠습니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 행사가 취소되지 않았다. 주장: 비가 오지 않았을 것이다.] 이 형식에서 익숙한 느낌이 든다면 바로 맞습니다. 이는 명제에서의 대우명제와 본질적으로 같습니다.

세 번째로는 가정적 삼단논법 혹은 연쇄논법이라고도 불리는 형식입니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 행사가 취소되면 바로 집에 갈 것이다. 주장: 오늘 비가 오면 바로 집에 갈 것이다.] 이 논증은 연역추론의 대표적 예시라고 볼 수 있습니다. 이 형식으로 풀 수 있는 문제들을 명제 단원에서 자주 볼 수 있습니다.

네 번째로는 선언적 삼단논법입니다. 재미를 위해 다소 논쟁적인 예를 들어보도록 하겠습니다. 내용보다는 형식에 집중해주세요. [근거 1: 탕수육의 올바른 섭취법은 소스를 부어 먹거나 찍어 먹는 것이다. 근거 2: 소스를 부어먹는 것은 올바른 섭취법이 아니다. 주장: 소스는 찍어 먹는 것이 올바른 섭취법다.] 이 형식은 A 또는 B를 선언하고 둘 중 하나를 배제함으로써 다른 하나가 참임을 주장하는 형식의 논증입니다. 수학 문제를 풀 때 여러 개의 값 중 조건에 맞지 않는 값을 소거해나가는 과정이 이 논증을 하고 있는 것이라고 할 수 있습니다.

기호로 표현하자면 왼쪽 표와 같습니다. 모든 연역 추론은 위 형식들의 합주와 변주라고 해도 과언이 아닙니다. 적절한 귀납 추론까지 사용한다면 뛰어난 ‘T’로서 오류 없이 사회생활을 잘할 수 있다고 믿습니다.

이정현 푸른숲발도르프학교 교사

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[임현우 기자의 키워드 시사경제] '역대 최고치 경신' 日 증시 상승 이끈 일곱 기업

일본 증시가 고공 행진을 이어가고 있다. 이 나라 대표 주가지수인 닛케이지수(닛케이225 평균주가)는 지난달 22일 39,098로 장을 마감하면서 사상 처음 39,000선을 넘어섰다. ‘거품 경제’ 시절인 1989년 12월 29일 세운 기존 최고 기록(38,915)을 34년 만에 갈아치웠다.지난해 33,464로 마감한 닛케이지수는 새해 들어 강한 상승세를 보였다. 원인은 복합적이다. 엔저 현상에 힘입어 일본 수출 기업들의 실적이 잘 나왔고, 중국에서 빠져나온 외국인 자금이 일본 주식시장으로 흘러 들어왔다. 정부 차원에서 상장사들에게 ‘주주 친화적 경영’을 유도한 점도 주가 상승 요인으로 꼽힌다. 뉴욕에 ‘M7’ 있다면 도쿄엔 ‘사무라이7’ 있다이런 가운데 미국 투자은행 골드만삭스가 재미난 분석을 내놨다. 구로사와 아키라 감독의 영화 ＜7인의 사무라이＞를 본떠 일본 증시를 주도하는 일곱 종목, 이른바 ‘사무라이7’을 선정했다. 반도체 장비업체인 스크린홀딩스, 어드반테스트, 디스코, 도쿄일렉트론과 자동차업체인 토요타자동차와 스바루, 종합상사인 미쓰비시상사가 주인공이다. 골드만삭스는 유동성이 높으면서 최근 12개월 동안 주가 흐름이 양호하고, 2020년 이후 적자를 낸 적이 없는 곳들을 기준으로 삼았다.앞서 미국 증시를 이끄는 7대 기술주가 ‘매그니피센트7(Magnificent7, M7)’이라는 이름으로 불려왔는데, 비슷한 신조어가 등장했다는 것은 일본이 그만큼 글로벌 금융시장의 뜨거운 관심을 받게 됐다는 의미로 볼 수 있다. M7은 1960년대 미국 서부영화 ＜황야의 7인＞에서 유래한 것이다. 애플을 필두로 마이크로소프트(MS), 아마존, 알파벳, 엔비디아, 메타, 테슬라가 포함됐다.골드만삭스는 “2020년 3월 이후 주가 변동 요인을 분석해보면 미국의 M7은 매출 확대에 기인한 반면 일본 사무라이7은 이익률과 주가수익비율(PER) 확대에 영향을 받았다”고 설명했다. 사무라이7 주가가 더 오르려면 M7처럼 매출 규모의 확대도 필요할 것으로 보인다고 외신들은 지적했다. 34년 만의 신기록…이 기간 ‘텐배거’ 142개닛케이지수가 전고점과 신고점을 찍은 34년 사이에 ‘텐배거(ten bagger)’ 종목은 142개로 집계됐다. 텐배거는 주가가 10배 이상 오른 ‘대박 종목’을 가리키는 용어다.니혼게이자이 신문에 따르면 외식업체 젠쇼홀딩스는 1997년 주식을 상장한 이후 주가가 236배 상승했다. 덮밥 체인 ‘스키야’ 등을 운영하는 이 업체는 유럽과 미국의 초밥 기업을 잇달아 인수하면서 일본 외식업계 최초로 시가총액 1조 엔을 돌파했다. 반도체 관련 회로 원판 검사 장치를 생산하는 레이져테크의 주가는 171배 뛰었다. 정보기술(IT) 기업 라인야후와 유니클로의 모회사 패스트리테일링 주가도 각각 100배 넘게 올랐다. 니혼게이자이 신문은 “일본 주식에는 오랫동안 ‘실적이 저조하다’는 이미지가 있었지만 이 기간에도 주가를 10배 이상 높인 기업들이 있다”고 전했다.
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꿀잠 자야 건강해요

주니어 생글생글 제102호 커버 스토리 주제는 수면과 우리 생활입니다. 잠이 신체적·정신적 건강에 미치는 영향과 잠이 부족할 때 나타날 수 있는 문제점을 어린이·청소년 눈높이에서 설명했습니다. 수면 부족으로 인한 사회·경제적 손실과 건강한 수면 습관에 대해서도 알아봤습니다. 꿈을 이룬 사람들에서는 세계적인 의류 기업 자라를 창업한 아만시오 오르테가를 소개했습니다. 이밖에 영어 과학 한자 등 다양한 읽을거리를 담았습니다.