문병로 교수의 거꾸로 증시 이론 (8) 기하평균 알아야 돈번다

산술평균서 착시 발생
주식 편입 비중 따라선 편차 줄어 '플러스 수익률'

케인스는 그의 역작 ‘고용, 이자, 화폐의 일반이론’에서 기업에 대한 투자를 이끄는 주요 요인으로 ‘동물적 기질(animal spirit)’을 들었다. 어떤 이들은 ‘벤처정신’이라고 해석하기도 하지만 원저의 행간을 보면 ‘무모함’에 더 가깝다. 계량화된 판단이 아닌 무모한 동물적 낙관에 따른 자본 제공이 시장을 활기차게 한다는 것이다. 대부분의 투자자가 주식시장에서 하는 역할도 비슷하다. 자신은 손해 보면서 시장에 에너지를 제공하는 ‘공익적 투자자’ 역할을 한다.

장기 투자에서 현명한 자금 관리를 하려면 산술평균과 기하평균을 꼭 알아야 한다. 산술평균은 주어진 숫자를 더해 이들을 숫자의 개수로 나눈 것이다. 반면 기하평균은 주어진 숫자를 모두 곱한 뒤 숫자의 개수에 해당하는 제곱근을 구한다. 예를 들어 10과 20의 산술평균은 15지만 기하평균은 두 숫자를 곱한 값인 200의 제곱근인 14.1이다. 머리가 조금 아플 수 있지만 알아둘 만한 가치가 있다. 몇 가지 사례들을 보자.

어떤 사람이 1000만원을 3년간 투자한 월별 수익률의 산술평균이 5%라고 하자. 이것이 월 40% 수익과 30% 손실이 반복된 결과라면 3년 뒤 계좌에 남아 있는 돈은 480만원밖에 안 된다. 손실이 났고 기하평균을 하면 수익률은 월평균 -1%다. 반면 월별로 20%의 수익과 10%의 손실이 뒤섞였다면 잔액은 4000만원이 된다. 이익이 났고 기하수익은 월평균 3.9%다. 이처럼 산술평균에서 생길 수 있는 착시가 기하평균을 통해 교정된다. 기초 수치들의 편차가 작을수록 기하평균은 높아진다.

기하평균의 이런 성질을 잘 활용하면 똑같은 조건에서도 수익을 높일 수 있다. 40% 수익과 30%의 손실이 교차된 사례를 다시 보자. 원금 1000만원을 모두 투자하면 손실이 나지만, 항상 전체의 40%만 투자 상태로 유지하면 이익이 나고 잔액은 3년 뒤 1450만원으로 늘어난다. 투자 비중이 줄면서 총 잔액 대비 16%의 수익과 12%의 손실이 교차되는 게임으로 바뀌었기 때문이다. 수익과 손실의 크기가 모두 감소했고 이들 간의 편차도 줄어 결과적으로 기하평균이 커졌다. 좀 더 엄밀하게 계산하면 전체 금액의 41.5%를 투자할 때 수익률은 최대가 된다.

기하평균은 투자뿐 아니라 도박과도 관계가 있다. 10필의 말이 겨루는 경마에서 우승마를 맞히면 10배를 받고 못 맞히면 돈을 잃는다. 어떤 사람이 우승마를 평균보다 2배 높은 확률로 맞힐 수 있다고 하자. 이런 게임을 반복한다면 이 사람은 자신이 가지고 있는 돈의 얼마만큼을 베팅해야 할까. 이 경우 항상 잔액의 9분의 1을 베팅하는 것이 기하평균을 최대화한다. 이렇게 하면 회당 4.5%의 수익을 얻는다. 이것이 유명한 켈리베팅이다.

이처럼 기하평균을 통해 수익을 극대화하는 과정에는 변동성 관리가 암묵적으로 포함된다. 리스크 관리의 핵심이기도 하다. 아무 일도 하지 않고 노는 것 같은 여분의 현금이 변동성에 대한 완충 역할을 해 수익률을 높인다. 남는 현금을 채권 등 안전 자산에 투자하면 수익률은 조금 더 높아진다.

요약하면 산술평균과 기하평균의 차이는 변동성 때문에 생긴다. 동일한 산술평균이라 해도 변동성이 클수록 기하평균은 떨어진다. 장기투자의 최종 수익률을 결정하는 것은 기하평균이다.

윤병로 < 서울대 컴퓨터공학부 교수 moon@snu.ac.kr >